log x の積分は公式ではなく「型」で作る

最近、YouTube を見ていたときに、log が入った関数の積分を解説している動画が流れてきました。 その動画では部分積分を使って、とてもきれいに答えまで導いていました。 それを見ながら私は、「log が複数あるときは確かに部分積分で進めるとして、では log x が 1 個だけのときはどうなるんだろう？公式ってあったっけ？覚えていないぞ」という疑問がふと浮かびました。

このときに改めて思い出したのが、私自身の方針です。 私は log x の積分を公式として暗記する方針は取っていません。 log が 1 個だけ出てくる積分は、毎回同じ流れで解けるため、公式を覚えるよりも 「log が出たら部分積分を使う」 という型を覚えておくほうが合理的だと考えています。

結論：log x の積分はこうなります

$$\int \log xdx=x\log x-x$$

この形そのものを覚えるのではなく、 この形になる理由のほうを覚えておきます。

構造：log が出たら部分積分を使います

部分積分の基本形は

$$\int udv=uv-\int vdu$$

log の積分では

• $u=\log x$
• $dv=dx$

と置くのが毎回正しいため、ここを“型”として覚えます。

導出：毎回この流れになります

$$\int \log xdx=x\log x-\int 1dx$$

$$=x\log x-x$$

log が 1 個だけなら、この流れは必ず同じです。 そのため、公式を暗記する必要はありません。

私の方針：公式ではなく「型」を覚えます

私は、log の積分を公式として覚えるのではなく、 「log が出たら部分積分を使う」 という行動ルールだけを覚えるようにしています。

この方針にすると、

• log(ax)
• log_a x
• x log x
• (log x)^n などの派生形にも自然に対応できます。

公式を増やして覚えるより、 型を 1 つ覚えておくほうが負荷が低く、応用範囲が広い という判断です。

底が e ではない場合（私の扱い方）

log の底が e ではない場合も、私は公式を覚えません。 理由は単純で、自然対数に変換すれば同じ型で解けるからです。

底が $a$ の log は

$${\log }_{a}x=\frac{\log x}{\log a}$$

という関係だけ覚えておけば十分です。

そのため、私の扱い方はこうなります。

$\int {\log }_{a}xdx$

まず自然対数に変換します。

$${\log }_{a}x=\frac{\log x}{\log a}$$

あとは log x の積分を使うだけです。

$$\int {\log }_{a}xdx=\frac{x\log x-x}{\log a}$$

ここでも公式を覚える必要はありません。 「底が変わったら自然対数に直す」 という行動ルールだけで十分です。

応用形：log が複数・掛かっている場合

$\int \log (ax)dx$

$$\int \log (ax)dx=x\log (ax)-x$$

$\int x\log xdx$

$$\int x\log xdx=\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}$$

$\int (\log x{)}^{n}dx$

部分積分を繰り返すだけです。 公式化はできませんが、使う型は同じです。

まとめ

私の方針は

• 公式を覚えない
• log が出たら部分積分を使う
• 底が違う log は自然対数に変換する
• 「型」を覚えておく

というものです。

log の積分は、構造が毎回同じため、公式を暗記するよりも型を覚えるほうが合理的だと考えています。